Derivada
la Razón
Instantánea Razónde una función cuya variable independiente es el
tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con
respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor
de Q en el instante t. Por ejemplo
· El
tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
· La
cantidad de dinero en una cuenta en un banco
· El
volumen de un globo mientras se infla
· La
distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje
El cambio
en Q desde el tiempo t hasta el
tiempo t+"t, es el incremento
La Razón de
Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por
definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto
del cambio "t en t, por lo que es el cociente
Definimos la razón
de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite
de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio
instantánea de Q es
Lo cual
simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio
instantánea de Q=f(t) es la derivada
La interpretación
intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P (t, f
(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la
función Q=f(t). Cuando Q cambia con el
tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero
si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a
seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P
corresponde que Q cambia a una razón constante.
También como
conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es
ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así
Q es
creciente en el instante t si
Q es
decreciente en el instante t si
La derivada de
cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse
como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente.
Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio
unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente
La razón de cambio
instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando
"x!0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea
de y con respecto de x es
Derivada de
una función
La derivada de
una función es
una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según
cambie el valor de su variable
independiente. La derivada de una función es un concepto local, es
decir, se calcula como el límite de
la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el
intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño.
Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un
punto dado.
La derivada de una
función f en un punto x se denota
como f′(x). La
función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la
llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de
encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una
de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida
como cálculo.
Derivada de la
función inversa
En matemática, la inversa de una función es una función que,
en cierta manera, "deshace" el efecto de función inversa para
una definición forma La inversa de se denota cómo. Las
expresiones y son equivalentes.
Sus respectivas derivadas, asumiendo que existen, son recíprocas,
tal y como se deduce a partir de la notación
de Leibniz:
Eso es una consecuencia directa de la regla
de la cadena, ya que
y la derivada de respecto es 1.
Escribiendo explícitamente la dependencia de
respecto y el punto dónde se calcula la derivada y
usando la notación de LaGrange, la fórmula de la derivada de la inversa es
Geométricamente, una función y su inversa tienen gráficas que son
reflexiones respecto la línea. Esta reflexión transforma el gradiente de cualquier
línea en su recíproco.
Asumiendo que tiene inverso en un entorno de y que
su derivada en este punto es distinta de cero, su inversa será diferenciable
en y que su derivada viene dada por la expresión anterior.
Derivación de
funciones trigonométricas
La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso
matemático de encontrar el ritmo al cual una función
trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es
decir, la derivada de la
función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x).
Por ejemplo, al derivar f(x) =sen(x), se está
calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio
del sen(x) en cada punto x.
Interpretación geométrica de la derivada
Observa el gráfico, en él está representada una
función y=f(x) y hemos tomado dos puntos:
P(xo,f(xo)) y Q(xo+h, f(xo+h))
La recta PQ es una recta secante a la curva cuya pendiente es:
P(xo,f(xo)) y Q(xo+h, f(xo+h))
La recta PQ es una recta secante a la curva cuya pendiente es:
Cuando h tiende a
0, o lo que es lo mismo cuando Q
tiende a P, la recta secante se convierte en la recta tangente a la curva en el
punto P y la pendiente de la recta tangente será:
La derivada de una función de x e también una función de x .puede ocurrir que esta nueva función sea
también derivable; en este caso la derivada de la primera derivada se llama la segunda derivada de la función primitiva. Analógicamente, la
derivada de la segunda derivada se llama la tercera derivada y así sucesivamente hasta la enésima derivada
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